1. 问题提出

对于与之前一样的数据集，我们很难得到一部电影偏向爱情片和动作片的程度，即很难得到表中 $x_1$ 和 $x_2$ 的值，而且一部电影的特征不止这两种，我们也需要更多的特征。

怎样得到这些特征呢？

将问题稍微变化一下，假如我们有一个数据集，如下图，我们并不知道表中 $x_1$ 和 $x_2$ 的特征的值（$x_0=1$）。

但假设我们采访了每一位用户，并且每一位用户都告诉我们，他们喜欢爱情电影和动作电影的程度的程度。那么 Alice、Bob、Carol、Dave 都有了对应的参数 $\theta^{(1)}$ , $\theta^{(2)}$，$\theta^{(3)}$，$\theta^{(4)}$ 如下：

$\theta^{(1)}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right], \theta^{(2)}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right], \theta^{(3)}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right], \theta^{(4)}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right]$

比如 Alice 的参数代表她特别喜欢爱情电影，但是一点都不喜欢动作电影。此时我们知道对于电影 $x^{(1)}$ ，Alice 和 Bob 打了5分，而且他们都喜欢爱情电影，不喜欢动作电影，Carol 和 Dave 给了 0 分，他们都喜欢动作电影，不喜欢爱情电影。那么我们就能猜到，这个电影可能是爱情电影，不太可能是动作片。所以 $x_1$ 可能等于 1， $x_2$ 可能等于 0 。

我们想要知道的是，$x^{(1)}$ 应该是多少，才使得 $(\theta^{(1)})^Tx^{(1)} \approx 5$ ， $(\theta^{(2)})^Tx^{(1)} \approx 5$， $(\theta^{(3)})^Tx^{(1)} \approx 0$， $(\theta^{(4)})^Tx^{(1)} \approx 0$ ，很明显，$x^{(1)}$ 应该约等于 $\left[\begin{array}{l}1 \\1.0 \\0\end{array}\right]$ 。

2. 公式化表达

给定 $\theta^{(1)},\dots,\theta^{(n_u)}$，学习特定电影的特征参数 $x^{(i)}$ ，目标函数为：

$\min _{x^{(i)}} \frac{1}{2} \sum_{j: r(i, j)=1}\left(\left(\theta^{(j)}\right)^{T} x^{(i)}-y^{(i, j)}\right)^{2}+\frac{\lambda}{2} \sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}^{(i)}\right)^{2}$

可以发现这个公式和基于内容的推荐算法的公式很像，只是最小化改变的变量和正则化项不同。

给定 $\theta^{(1)},\dots,\theta^{(n_u)}$，学习所有的电影的特征参数 $x^{(1)},\dots,x^{(n_m)}$，目标函数为：

$\min _{x^{(1)}, \ldots, x^{\left(n_{m}\right)}} \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n_{m}} \sum_{j: r(i, j)=1}\left(\left(\theta^{(j)}\right)^{T} x^{(i)}-y^{(i, j)}\right)^{2}+\frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^{n_{m}} \sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}^{(i)}\right)^{2}$

3. 协同过滤

• 给定 $x^{(1)},\dots,x^{(n_m)}$，可以学习 $\theta^{(1)}, \ldots, \theta^{\left(n_{u}\right)}$ （见16-2 基于内容的推荐算法）
• 给定 $\theta^{(1)},\dots,\theta^{(n_u)}$，可以学习 $x^{(1)},\dots,x^{(n_m)}$

这有些像先有鸡还是先有蛋的问题，如果我们随机的猜测一些 $\theta$ 的值，根据 $\theta$ 的值来计算 $x$ 的值，再用 $x$ 的值来计算 $\theta$ 的值……多次重复迭代之后，算法将收敛到一组合理的值。这是简单的协同过滤算法，在接下来的一节，我们将改进这个算法，使其在计算时更加高效。该问题只在每位用户都对数个电影进行了评价，并且每一部电影都被数位用户评价的情况下有效。