一、不定积分

1.基本积分表

  • ∫k dx=kx+C\int k \mathrm{~d} x=k x+C （ kk 是常数）

  • ∫xμdx=xμ+1μ+1+C(μ≠−1)\int x^{\mu} \mathrm{d} x=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C \quad(\mu \neq-1)

  • ∫dxx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{\mathrm{d} x}{x}=\ln |x|+C

  • ∫dx1+x2=arctan⁡x+C\int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{2}}=\arctan x+C

  • ∫dx1−x2=arcsin⁡x+C\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x+C

  • ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x \mathrm{~d} x=\sin x+C

  • ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x \mathrm{~d} x=-\cos x+C

  • ∫dxcos⁡2x=∫sec⁡2x dx=tan⁡x+C\int \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{2} x}=\int \sec ^{2} x \mathrm{~d} x=\tan x+C

  • ∫dxsin⁡2x=∫csc⁡2x dx=−cot⁡x+C\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin ^{2} x}=\int \csc ^{2} x \mathrm{~d} x=-\cot x+C

  • ∫sec⁡xtan⁡x dx=sec⁡x+C\int \sec x \tan x \mathrm{~d} x=\sec x+C

  • ∫csc⁡xcot⁡x dx=−csc⁡x+C\int \csc x \cot x \mathrm{~d} x=-\csc x+C

  • ∫ex dx=ex+C\int \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{x}+C

  • ∫ax dx=axln⁡a+C\int a^{x} \mathrm{~d} x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C

2. 涉及到三角恒等式的积分

sin⁡2x2=1−cos⁡x⇔sin⁡x2=±1−cos⁡x2\sin^2{\frac{x}{2}} = 1- \cos x \Leftrightarrow \sin{\frac{x}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}

cos⁡2x2=1+cos⁡x⇔cos⁡x2=±1+cos⁡x2\cos^2{\frac{x}{2}} = 1+\cos{x} \Leftrightarrow \cos{\frac{x}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos{x}}{2}}

tan⁡2x=sec⁡2x−1\tan^2{x} = \sec^2{x}- 1

∫tan⁡2x dx=∫(sec⁡2x−1) dx=∫sec⁡2x dx−∫ dx=tan⁡x−x+C\int \tan^2{x}\,dx = \int(\sec^2{x}-1)\,dx = \int\sec^2{x}\,dx -\int\,dx = \tan{x}-x+C

3. 换元积分法

（1）第一类换元法

定理：设 f(x)f(x) 具有原函数， u=φ(x)u=\varphi(x) 可导，则有换元公式

∫f[φ(x)]φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)\int f[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\left[\int f(u) \mathrm{d} u\right]_{u=\varphi(x)}

例： 求 ∫x1−x2 dx\int x\sqrt{1-x^2}\,dx

解 设 u=1−x2u = 1-x^2，则 du=−2x dxdu = -2x\,dx ，即 −12 du=x dx-\frac{1}{2}\,du = x\,dx ，因此，

∫x1−x2 dx=∫u12⋅(−12)du=−12u3232+C=−13u32+C=−13(1−x2)32+C\int x \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x=\int u^{\frac{1}{2}} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \mathrm{d} u=-\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C =-\frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}+C = -\frac{1}{3}(1-x^2)^\frac{3}{2}+C

（2）第二类换元法

定理：设 x=ψ(t)x = \psi(t) 是单调的可导函数，并且 ψ′=0\psi^{\prime} \not= 0 . 又设 f[ψ(t)]ψ′(t)f[\psi(t)] \psi^{\prime}(t) 具有原函数，则有换元公式

∫f(x)dx=[∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt]t=ψ−1(x)\int f(x) \mathrm{d} x=\left[\int f[\psi(t)] \psi^{\prime}(t) \mathrm{d} t\right]_{t=\psi^{-1}(x)}

例：求 ∫a2−x2 dx (a>0)\int \sqrt{a^2-x^2}\,dx \,(a>0).

解 求这个积分的困难在于有根式 a2−x2\sqrt{a^2-x^2} ，但我们可以利用三角公式

sin⁡2t+cos⁡2t=1\sin^2t+\cos^2t=1

来化去根式.

设 x=asin⁡t,−π2<t<π2x=a\sin t,-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}，则 a2−x2=a2−a2sin⁡2t=acos⁡t\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2-a^2\sin^2t}= a\cos t ，dx=acos⁡t dtdx=a\cos t\,dt，于是根式化成了三角式，所求积分化为

∫a2−x2 dx=∫acos⁡t⋅acos⁡t dt=a2∫cos⁡2t dt\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x=\int a \cos t \cdot a \cos t \mathrm{~d} t=a^{2} \int \cos ^{2} t \mathrm{~d} t

由于

∫cos⁡2t dt=t2+sin⁡2t4+C\int \cos^2t \, dt = \frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}+C

所以

∫a2−x2 dx=a2(t2+sin⁡2t4)+C=a22t+a22sin⁡tcos⁡t+C.\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x=a^{2}\left(\frac{t}{2}+\frac{\sin 2 t}{4}\right)+C=\frac{a^{2}}{2} t+\frac{a^{2}}{2} \sin t \cos t+C .

由于x=asin⁡tx=a\sin t，−π2<t<π2-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}，所以

t=arcsin⁡xat=\arcsin{\frac{x}{a}}

cos⁡t=1−sin⁡2t=1−(xa)2=a2−x2a\cos t=\sqrt{1-\sin ^{2} t}=\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a}

于是，所求积分为

∫a2−x2 dx=a22arcsin⁡xa+12xa2−x2+C.\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a}+\frac{1}{2} x \sqrt{a^{2}-x^{2}}+C .

4. 分部积分法

公式：

∫u dv=uv−∫v du\int u \mathrm{~d} v=u v-\int v \mathrm{~d} u

参考资料：

《高等数学 第七版 上册》 同济大学