Gabriel's

• • • 1. 代数余子式 $A_{ij}$ 与 余子式 $M_{ij}$ 的关系
    • 2. 伴随矩阵 $A^*$ （注意顺序）
    • 3.矩阵求逆
      • 方法一
    • 4. 求解矩阵方程
      • （0） 解情况（$n$元线性方程组）
      • （1）克拉默法则
      • （2）增广矩阵
    • 5. 初等行变换
    • 6. 矩阵的秩
    • x.矩阵分块法

1. 代数余子式 $A_{ij}$ 与 余子式 $M_{ij}$ 的关系

$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$

$M_{ij}$是行列式去掉第$i$行和第$j$列后的行列式。如：

$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{vmatrix}$

$M_{32} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \\ \end{vmatrix}$

$A_{32} = (-1)^{3+2}M_{32} = -M_{32}$

2. 伴随矩阵 $A^*$ （注意顺序）

$A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \ldots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \ldots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{1n} &　A_{2n} & \ldots & A_{nn} \end{bmatrix}$

3.矩阵求逆

方法一

$A^{-1} = \frac{1}{\left|A\right|} \cdot A^*$

4. 求解矩阵方程

（0） 解情况（$n$元线性方程组）

1. 如果线性方程组的系数矩阵的行列式不等于零，那么方程组有唯一解
2. 满秩的时候有唯一解
3. 无解的充分必要条件是$R(A)<R(A,b)$
4. 有唯一解的充分必要条件$R(A)=A(A,b)=n$
5. 有无限多解从的充分必要条件是$R(A) = R(A,b)<n$

（1）克拉默法则

$A_{n\times n}x_n=b_n$

$x_1=\frac{\left|A_1\right|}{\left|A\right|}, x_2=\frac{\left|A_2\right|}{\left|A\right|},\ldots, x_n=\frac{\left|A_n\right|}{\left|A\right|}$

（2）增广矩阵

5. 初等行变换

1. 对换两行
2. 以数 $k \not= 0$ 乘某一行中的所有元
3. 把某一行所有元的 $k$ 倍加到另一行对应的元上去

6. 矩阵的秩

定义：设在矩阵 $A$ 中有一个不等于0的 $r$ 阶子式 $D$ ，且所有 $r+1$阶子式（如果存在的话）全等于0，那么 $D$ 成为矩阵 $A$ 的最高阶非零子式，数 $r$ 称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $R(A)$. 并规定零矩阵的秩等于0.

性质：

1. 对于行阶梯形矩阵，其秩就等于非零行的行数。
2. $0\leq R(A_{m\times n})\leq min\{m,n\}$
3. 若 $A \sim B $，则 $R(A) = R(B)$
4. 若 $P、Q$ 可逆，则 $R(PAQ) = R(A)$
5. $max\{R(A),R(B)\}\leq R(A,B)\leq R(A)+R(B)$
6. $R(A+B)\leq R(A)+R(B)$
7. $R(AB)\leq min\{R(A),R(B)\}$
8. 若 $A_{m\times n}B_{n \times l} = O$，则$R(A)+R(B) \leq n$

x.矩阵分块法

持续更新中......